РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1183 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2018

Сложность: V

Разные задачи

На стороне BC прямоугольника ABCD отмечена точка O так, что $OB : CB = 3 : 5.$ Из точки O восстановлен перпендикуляр SO к плоскости прямоугольника. Найдите объем пирамиды ABCDS, если известно, что $косинус альфа = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби ,$ где $альфа$   — линейный угол двугранного угла BSAD, $CD = 5,$ $AD =10.$

Решение. Пусть SO  =  h. Заметим, что $OD в квадрате = 41,$ $OA в квадрате = 61,$ тогда по теореме Пифагора: $SD в квадрате =h в квадрате плюс 41,$ $SA в квадрате = h в квадрате плюс 61,$ $SB в квадрате = h в квадрате плюс 36.$ Обозначим углы SAB и SAD как β и γ, соответственно.

По теореме косинусов для треугольника SAB:

$SB в квадрате = AB в квадрате плюс AS в квадрате минус 2 умножить на AB умножить на AS умножить на косинус бета равносильно h в квадрате плюс 36 = 25 плюс h в квадрате плюс 61 минус 2 умножить на 5 корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 61 конец аргумента умножить на косинус бета ,$ $SB в квадрате = AB в квадрате плюс AS в квадрате минус 2 умножить на AB умножить на AS умножить на косинус бета равносильно$
$равносильно h в квадрате плюс 36 = 25 плюс h в квадрате плюс 61 минус 2 умножить на 5 корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 61 конец аргумента умножить на косинус бета ,$

откуда $косинус бета = дробь: числитель: 5, знаменатель: корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 61 конец аргумента конец дроби ,$ $синус бета = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 36 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 61 конец аргумента конец дроби .$

По теореме косинусов для треугольника SAD:

$SD в квадрате = AD в квадрате плюс AS в квадрате минус 2 умножить на AB умножить на AS косинус гамма равносильно h в квадрате плюс 41 = 100 плюс h в квадрате плюс 61 минус 2 умножить на 10 корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 61 конец аргумента косинус гамма ,$ $SD в квадрате = AD в квадрате плюс AS в квадрате минус 2 умножить на AB умножить на AS косинус гамма равносильно$
$равносильно h в квадрате плюс 41 = 100 плюс h в квадрате плюс 61 минус 2 умножить на 10 корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 61 конец аргумента косинус гамма ,$

откуда $косинус гамма = дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 61 конец аргумента конец дроби ,$ $синус гамма = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 25 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 61 конец аргумента конец дроби .$

Из точки D опустим перпендикуляр DH на ребро SA. Из точки H в плоскости SAB восстановим к SA перпендикуляр HG, где G  — точка его пересечения с прямой AB. Тогда угол DHG  — линейный угол двугранного угла BSAD и равен $альфа .$

Из треугольника ADH: $AH = AD умножить на косинус гамма = дробь: числитель: 60, знаменатель: корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 41 конец аргумента конец дроби ,$ $DH = AD умножить на синус гамма = дробь: числитель: 10 корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 25 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 61 конец аргумента конец дроби .$ Из треугольника AHG: $AG = дробь: числитель: AH, знаменатель: косинус бета конец дроби = 12,$ $GH = AG умножить на синус бета = дробь: числитель: 12 корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 36 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс 61 конец аргумента конец дроби ,$ $DG в квадрате = AD в квадрате плюс AG в квадрате = 244.$ По теореме косинусов для треугольника DHG:

$DG в квадрате = DH в квадрате плюс GH в квадрате минус 2 умножить на DH умножить на GH умножить на косинус альфа равносильно$

$равносильно 244 = дробь: числитель: 100 левая круглая скобка h в квадрате плюс 25 правая круглая скобка , знаменатель: h в квадрате плюс 61 конец дроби плюс дробь: числитель: 144 левая круглая скобка h в квадрате плюс 36 правая круглая скобка , знаменатель: h в квадрате плюс 61 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 умножить на 10 умножить на корень из: начало аргумента: 5 левая круглая скобка h в квадрате плюс 25 правая круглая скобка левая круглая скобка h в квадрате плюс 36 правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 13 левая круглая скобка h в квадрате плюс 61 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно 244 левая круглая скобка h в квадрате плюс 61 правая круглая скобка = 244h в квадрате плюс 2500 плюс 144 умножить на 36 плюс дробь: числитель: 240 корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 5 левая круглая скобка h в квадрате плюс 25 правая круглая скобка левая круглая скобка h в квадрате плюс 36 правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби равносильно$
$равносильно 244 умножить на 61 = 2500 плюс 144 умножить на 36 плюс дробь: числитель: 240, знаменатель: 13 конец дроби корень из: начало аргумента: 5 левая круглая скобка h в квадрате плюс 25 правая круглая скобка левая круглая скобка h в квадрате плюс 36 правая круглая скобка конец аргумента равносильно$
$равносильно 61 в квадрате = 25 в квадрате плюс 36 в квадрате плюс дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби корень из: начало аргумента: 5 левая круглая скобка h в квадрате плюс 25 правая круглая скобка левая круглая скобка h в квадрате плюс 36 правая круглая скобка конец аргумента равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 13 умножить на 30 правая круглая скобка в квадрате = 5 левая круглая скобка h в квадрате плюс 25 правая круглая скобка левая круглая скобка h в квадрате плюс 36 правая круглая скобка равносильно h в квадрате = 144 равносильно h = 12.$ $равносильно 244 = дробь: числитель: 100 левая круглая скобка h в квадрате плюс 25 правая круглая скобка , знаменатель: h в квадрате плюс 61 конец дроби плюс дробь: числитель: 144 левая круглая скобка h в квадрате плюс 36 правая круглая скобка , знаменатель: h в квадрате плюс 61 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 умножить на 10 умножить на корень из: начало аргумента: 5 левая круглая скобка h в квадрате плюс 25 правая круглая скобка левая круглая скобка h в квадрате плюс 36 правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 13 левая круглая скобка h в квадрате плюс 61 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно 244 левая круглая скобка h в квадрате плюс 61 правая круглая скобка = 244h в квадрате плюс 2500 плюс 144 умножить на 36 плюс дробь: числитель: 240 корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 5 левая круглая скобка h в квадрате плюс 25 правая круглая скобка левая круглая скобка h в квадрате плюс 36 правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби равносильно$
$равносильно 244 умножить на 61 = 2500 плюс 144 умножить на 36 плюс дробь: числитель: 240, знаменатель: 13 конец дроби корень из: начало аргумента: 5 левая круглая скобка h в квадрате плюс 25 правая круглая скобка левая круглая скобка h в квадрате плюс 36 правая круглая скобка конец аргумента равносильно$
$равносильно 61 в квадрате = 25 в квадрате плюс 36 в квадрате плюс дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби корень из: начало аргумента: 5 левая круглая скобка h в квадрате плюс 25 правая круглая скобка левая круглая скобка h в квадрате плюс 36 правая круглая скобка конец аргумента равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 13 умножить на 30 правая круглая скобка в квадрате = 5 левая круглая скобка h в квадрате плюс 25 правая круглая скобка левая круглая скобка h в квадрате плюс 36 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно h в квадрате = 144 равносильно h = 12.$

Тогда $V = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби h умножить на S_ABCD = 200.$

Ответ: 200.

Ответ: 200

1183

200

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2018

Сложность: V

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1183	200